【数列的全部公式】在数学中，数列是一种按照一定顺序排列的一组数。数列可以是有限的，也可以是无限的。常见的数列类型包括等差数列、等比数列、递推数列等。掌握这些数列的基本公式对于学习数列相关知识非常重要。以下是对常见数列公式的总结。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 数列 | 按照一定顺序排列的一组数，记作：a₁, a₂, a₃, ..., aₙ |
| 通项公式 | 表示数列第n项的表达式，记作：aₙ = f(n) |
| 前n项和 | 数列前n项的总和，记作：Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ |
二、等差数列（Arithmetic Sequence）
等差数列是指每一项与前一项的差为一个常数的数列。
| 公式 | 表达式 |
| 通项公式 | aₙ = a₁ + (n - 1)d |
| 前n项和 | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 或 Sₙ = n[2a₁ + (n - 1)d]/2 |
| 公差 | d = aₙ - aₙ₋₁ |
- a₁：首项
- d：公差
- n：项数
三、等比数列（Geometric Sequence）
等比数列是指每一项与前一项的比为一个常数的数列。
| 公式 | 表达式 |
| 通项公式 | aₙ = a₁ · r^(n - 1) |
| 前n项和 | Sₙ = a₁(1 - rⁿ)/(1 - r)（当 r ≠ 1） |
| 公比 | r = aₙ / aₙ₋₁ |
- a₁：首项
- r：公比
- n：项数
四、递推数列（Recursive Sequence）
递推数列是通过前一项或几项来定义后一项的数列。
| 类型 | 举例 | 说明 |
| 一阶递推 | aₙ = aₙ₋₁ + d | 等差数列的一种表示方式 |
| 二阶递推 | aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ | 如斐波那契数列 |
| 高阶递推 | aₙ = f(aₙ₋₁, aₙ₋₂, ...) | 可以是线性或非线性的 |
五、其他特殊数列
| 数列类型 | 特点 | 举例 |
| 调和数列 | 通项为1/n | 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... |
| 平方数列 | 通项为n² | 1, 4, 9, 16, ... |
| 立方数列 | 通项为n³ | 1, 8, 27, 64, ... |
| 斐波那契数列 | 每项为前两项之和 | 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... |
六、总结表格
| 数列类型 | 通项公式 | 前n项和 | 公差/公比 | 说明 |
| 等差数列 | aₙ = a₁ + (n - 1)d | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 | d = 常数 | 每项差相同 |
| 等比数列 | aₙ = a₁·r^(n-1) | Sₙ = a₁(1 - rⁿ)/(1 - r) | r = 常数 | 每项比相同 |
| 递推数列 | aₙ = f(aₙ₋₁) | 无固定公式 | 无 | 由前项决定 |
| 调和数列 | aₙ = 1/n | 无 | 无 | 通项为倒数 |
| 平方数列 | aₙ = n² | Sₙ = n(n + 1)(2n + 1)/6 | 无 | 每项为平方数 |
| 立方数列 | aₙ = n³ | Sₙ = [n(n + 1)/2]^2 | 无 | 每项为立方数 |
| 斐波那契数列 | aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ | 无 | 无 | 每项为前两项之和 |
通过以上内容，我们可以对常见的数列及其公式有一个全面的了解。掌握这些公式不仅有助于解决数列问题，还能为后续学习数列的应用打下坚实的基础。