【等比数列的求和公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值保持不变。这个固定的比例称为公比。等比数列的求和公式是解决相关问题的关键工具，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。
一、等比数列的基本概念
等比数列的一般形式为：
$$
a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1}
$$
其中：
- $ a $ 是首项；
- $ r $ 是公比（$ r \neq 1 $）；
- $ n $ 是项数。
二、等比数列的求和公式
1. 当公比 $ r \neq 1 $ 时：
等比数列前 $ n $ 项的和 $ S_n $ 可以用以下公式计算：
$$
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{或} \quad S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
$$
这两个公式本质相同，只是分子的顺序不同。
2. 当公比 $ r = 1 $ 时：
此时所有项都相等，即数列为 $ a, a, a, \ldots, a $，因此：
$$
S_n = a \cdot n
$$
三、典型例题解析
| 项目 | 数据 |
| 首项 $ a $ | 2 |
| 公比 $ r $ | 3 |
| 项数 $ n $ | 5 |
| 求和公式 | $ S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} $ |
| 计算结果 | $ S_5 = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242 $ |
四、总结
| 内容 | 说明 |
| 等比数列定义 | 每一项与前一项的比值恒定 |
| 公比 $ r $ | 必须不等于 1，否则使用简单乘法 |
| 求和公式 | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ |
| 特殊情况 | 当 $ r = 1 $ 时，$ S_n = a \cdot n $ |
| 应用场景 | 数学、金融、物理等多领域 |
通过掌握等比数列的求和公式，可以更高效地处理涉及指数增长或衰减的问题，提升解题效率和准确性。